Question

8．曲線$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$=|y-1|-2與直線y=k（x-4）+1有兩個不同交點，則實數(shù)k的取值范圍是[1，$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$）∪（$\frac{\sqrt{3}-3}{4}$，-1]． 

Answer 1

分析 化簡曲線方程，作出曲線圖象，根據(jù)直線與曲線的交點個數(shù)求出k的范圍．

解答 解：∵$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$=|y-1|-2，
∴$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$=y-3（y≥3）與$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$=-1-y（y≤-1），
∴（x-1）²+（y-3）²=1（y≥1）或（x-1）²+（y+1）²=1（y≤-1）．
∴曲線$\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}$=|y-1|-2表示以（1，3）為圓心以1為半徑的上半圓和以（1，-1）為圓心，以1為半徑的下半圓．
作出圖形如下：

設(shè)直線y=k（x-4）+1過點（2，-1），則-2k+1=-1，∴k=1．
若直線y=k（x-4）+1與半圓（x-1）²+（y+1）²=1（y≤-1）相切．
則$\frac{|-3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$（舍）或k=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．
∴當(dāng)直線y=k（x-4）+1與半圓（x-1）²+（y+1）²=1（y≤-1）有兩個交點時，
1≤k＜$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$，
∵直線y=k（x-4）+1過點（4，1），且兩個半圓關(guān)于直線y=1對稱，
∴當(dāng)直線y=k（x-4）+1與半圓（x-1）²+（y-3）²=1（y≥3）有兩個交點時，
k的范圍是-$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$＜k≤1．
∴k的取值范圍是1≤k＜$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$或-$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$＜k≤-1．
故答案為（-$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$，-1]∪[1，$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$）．

點評 本題考查了圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．