Question

20．下列命題中真命題的個數為（　�。�
①用數學歸納法證明1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2n-1}$＜n（n∈N^*，且n＞1）時，第一步即證不等式1+$\frac{1}{3}$＜2成立；
②若關于x的不等式ax²-|x|+a＜0的解集為空集，則a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，+∞）
③若命題p：?n∈N，2ⁿ＞1000，則￢p：?n∈N，2ⁿ＜1000
④命題若“x（y-1）=0，則x=0或y=1”的逆否命題是“若x≠0且y≠1，則x（y-1）≠0”

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由數學歸納法的步驟，即可判斷①；令t=|x|，（t≥0），即為at²-t+a＜0，即a＜$\frac{t}{1+{t}^{2}}$無解，對t=0與t＞0，結合基本不等式可得a的范圍，即可判斷②；由特稱命題的否定為全稱命題，即可判斷③；
由原命題“若p則q”的逆否命題為“若非q則非p”，即可判斷④．

解答 解：對于①，用數學歸納法證明1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2n-1}$＜n（n∈N^*，且n＞1）時，
第一步即證n=2時，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$＜2成立，故①錯；
對于②，若關于x的不等式ax²-|x|+a＜0的解集為空集，令t=|x|，（t≥0），即為at²-t+a＜0，
即a＜$\frac{t}{1+{t}^{2}}$無解．若x=0，即a＜0不成立，則a≥0；若t＞0，即有$\frac{t}{1+{t}^{2}}$=$\frac{1}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}}$=$\frac{1}{2}$，
（t=1取得等號），由解集為空集，可得a≥$\frac{1}{2}$，則a的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，+∞），故②正確；
對于③，若命題p：?n∈N，2ⁿ＞1000，則￢p：?n∈N，2ⁿ≤1000，故③錯；
對于④，命題若“x（y-1）=0，則x=0或y=1”的逆否命題是
“若x≠0且y≠1，則x（y-1）≠0”，故④正確．
其中真命題的個數為2．
故選：B．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要是四種命題、命題的否定和不等式的解法、數學歸納法的運用，考查轉化思想和判斷、運算能力，屬于中檔題．