Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（2cos x，1），$\overrightarrow$=（cos x，$\sqrt{3}$sin 2x），x∈R．
（1）若函數(shù)f（x）=1-$\sqrt{3}$，且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，求x；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間，并在給出的坐標(biāo)系中畫出y=f（x）在[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的有界性求解即可．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用五點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（2cos x，1），$\overrightarrow$=（cos x，$\sqrt{3}$sin 2x），
得f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin 2x
=1+cos 2x+$\sqrt{3}$sin 2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
由2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1=1-$\sqrt{3}$得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$，∴-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{4}$．
（2）-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），即-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ（k∈Z）
得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）．

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	2	3	2	0	-1	0	2

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)化簡求值，函數(shù)的圖象的畫法，正弦函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查計(jì)算能力．