Question

20．在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為AB的中點，經過點A作D₁M的垂面，該垂面被正方體截得部分的面積是（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標系．設該垂面與BB₁相交于點E（2，2，t），由$\overrightarrow{{D}_{1}M}$⊥$\overrightarrow{AE}$，可得$\overrightarrow{{D}_{1}M}$•$\overrightarrow{AE}$=0，可得t．同理可得該垂面與BC相交于點F．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
D（0，0，0），A（2，0，0），D₁（0，0，2），M（2，1，0），
$\overrightarrow{{D}_{1}M}$=（2，1，-2），
設該垂面與BB₁相交于點E（2，2，t），則$\overrightarrow{AE}$=（0，2，t），由$\overrightarrow{{D}_{1}M}$⊥$\overrightarrow{AE}$，可得$\overrightarrow{{D}_{1}M}$•$\overrightarrow{AE}$=2-2t=0，可得t=1．
因此該垂面與BB₁相交于點E（2，2，1），．
同理可得該垂面與BC相交于點F（1，2，0）．
∴該垂面被正方體截得部分的面積=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}×$$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了等腰三角形的性質、勾股定理、向量垂直與數(shù)量積的關系、三角形面積的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．