Question

1．在三棱錐P-ABC中，PA=4，∠PBA=∠PCA=90°，△ABC是邊長為2的等邊三角形，則三棱錐P-ABC的外接球球心到平面ABC的距離是（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{33}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{33}}}{3}$

Answer 1

分析 由圓周角定理及球的性質(zhì)可判斷PA為球的直徑，利用余弦定理求出PA與平面ABC所成角的大小，即可得出球心到平面ABC的距離．

解答 解：∵∠PBA=∠PCA=90°，
∴PA為平面PAB所在圓的截面的直徑，
同理PA也是PBC所在圓的截面的直徑，
∴PA的中點(diǎn)為外接球的球心，
由勾股定理得PB=PC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
取BC的中點(diǎn)D，連接AD，
則∠PAD為PA與平面ABC所成的角，
經(jīng)計(jì)算得AD=$\sqrt{3}$，PD=$\sqrt{11}$，
∴cos∠PAD=$\frac{16+3-11}{2×4×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠PAD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴球心O到平面ABC的距離d=$\frac{1}{2}$PAsin∠PAD=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，棱錐與外接球的關(guān)系，屬于中檔題．