3.過(guò)點(diǎn)$(\sqrt{2},0)$引直線l與曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí),直線l的傾斜角為150°.

分析 由題意可知曲線為單位圓在x軸上方部分(含與x軸的交點(diǎn)),由此可得到過(guò)C點(diǎn)的直線與曲線相交時(shí)k的范圍,設(shè)出直線方程,由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離,由勾股定理求出直線被圓所截半弦長(zhǎng),寫(xiě)出面積后利用配方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.

解答 解:由y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$,得x2+y2=1(y≥0).
所以曲線y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$表示單位圓在x軸上方的部分(含與x軸的交點(diǎn)),
設(shè)直線l的斜率為k,要保證直線l與曲線有兩個(gè)交點(diǎn),且直線不與x軸重合,
則-1<k<0,直線l的方程為y-0=k(x-$\sqrt{2}$),即kx-y-$\sqrt{2}$k=0.
則原點(diǎn)O到l的距離d=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$,
l被半圓截得的半弦長(zhǎng)為 $\sqrt{1{-(\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{{k}^{2}+1}})}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1{-k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$.
則S△ABO=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{1{-k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{-{2{(k}^{2}+1)}^{2}+6{(k}^{2}+1)-4}{{{(k}^{2}+1)}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{4}{{{(k}^{2}+1)}^{2}}+\frac{6}{{k}^{2}+1}-2}$.
令 $\frac{1}{{k}^{2}+1}$=t,則S△ABO=$\sqrt{-{4t}^{2}+6t-2}$,當(dāng)t=$\frac{3}{4}$,即 $\frac{1}{1{+k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$時(shí),S△ABO有最大值為$\frac{1}{2}$.
此時(shí)由 $\frac{1}{1{+k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$,解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
故傾斜角是150°,
故答案為:150°.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的斜率,考查了直線與圓的關(guān)系,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,考查了配方法及二次函數(shù)求最值,解答此題的關(guān)鍵在于把面積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值,是中檔題.

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