Question

3．過(guò)點(diǎn)$（\sqrt{2}，0）$引直線l與曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，直線l的傾斜角為150°．

Answer 1

分析 由題意可知曲線為單位圓在x軸上方部分（含與x軸的交點(diǎn)），由此可得到過(guò)C點(diǎn)的直線與曲線相交時(shí)k的范圍，設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，由勾股定理求出直線被圓所截半弦長(zhǎng)，寫(xiě)出面積后利用配方法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值．

解答 解：由y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$，得x²+y²=1（y≥0）．
所以曲線y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$表示單位圓在x軸上方的部分（含與x軸的交點(diǎn)），
設(shè)直線l的斜率為k，要保證直線l與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且直線不與x軸重合，
則-1＜k＜0，直線l的方程為y-0=k（x-$\sqrt{2}$），即kx-y-$\sqrt{2}$k=0．
則原點(diǎn)O到l的距離d=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
l被半圓截得的半弦長(zhǎng)為 $\sqrt{1{-（\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1{-k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$．
則S_△ABO=$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{1{-k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{-{2{（k}^{2}+1）}^{2}+6{（k}^{2}+1）-4}{{{（k}^{2}+1）}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{4}{{{（k}^{2}+1）}^{2}}+\frac{6}{{k}^{2}+1}-2}$．
令 $\frac{1}{{k}^{2}+1}$=t，則S_△ABO=$\sqrt{-{4t}^{2}+6t-2}$，當(dāng)t=$\frac{3}{4}$，即 $\frac{1}{1{+k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$時(shí)，S_△ABO有最大值為$\frac{1}{2}$．
此時(shí)由 $\frac{1}{1{+k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，解得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故傾斜角是150°，
故答案為：150°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，考查了配方法及二次函數(shù)求最值，解答此題的關(guān)鍵在于把面積表達(dá)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，是中檔題．