Question

已知命題p：“當x∈[1，2]時，不等式x²-a≥0恒成立”．命題q：“存在實數a，使得方程x²+2ax+2-a=0有解”，若命題“p∧q”是真命題．求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：集合

分析：命題p：方程x²+2ax+2-a=0有實數解，可得△≥0，解得a的取值范圍．命題q：當x∈[1，2]時，不等式x²-a≥0恒成立，解得a的取值范圍．由于命題p∧q為真命題，可得命題p與q都為真命題，求其交集即可．

解答： 解：命題p：方程x²+2ax+2-a=0有實數解，可得，△=4a²-8+4a≥0，解得a≤-2或a≥1，
命題q：當x∈[1，2]時，不等式x²-a≥0恒成立即?x∈[1，2]，a≤x²，解得a≤x

2 min

=1，
∵命題p∧q為真命題，∴命題p與q都為真命題，
則同時成立，取交集得實數a的取值范圍是a≤-2，或a=1．

點評：本題考查了一元二次方程的實數根與判別式的關系、一元二次不等式的解法、復合命題真假的判定方法，考查了推理能力和計算能力，屬于基礎題