Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）若f（-1）=0，x∈R，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)a=1，記f（x）在（-∞，0]的最小值為g（b），求g（b）．

Answer 1

分析：（I）由f（-1）=0，確定a，b的一個(gè)關(guān)系，再由函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），在軸處取得0，再得到a，b的一個(gè)關(guān)系，列方程組求得a，b．
（II）將a=1代入，并將函數(shù)轉(zhuǎn)化f(x)=x2+bx+1=(x+

b

2

)2+1-

b2

4

找到其對(duì)稱軸，再按照二次函數(shù)最值的研究方法討論．

解答：解：（I）依題有

a-b+1=0 4a-b2 4a =0

?a=1，b=2．
∴f（x）=x²+2x+1（6分）
（II）f(x)=x2+bx+1=(x+

b

2

)2+1-

b2

4

（8分）
當(dāng)-

b

2

≤0即b≥0時(shí)，fmin(x)=f(-

b

2

)=1-

b2

4

；
當(dāng)-

b

2

＞0即b＜0時(shí)，f_min（x）=f（0）=1
綜上述f（x）在（-∞，0]上的最小值為g(b)=

1       b＜0 1- b2 4 b≥0

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解析式的求法和二次函數(shù)最值的求法．