Question

已知⊙M：（x+1）²+（y-2）²=4．
（1）求過點A（1，1）且與圓相切的切線方程．
（2）求過點B（13，4）且與圓相切的切線方程．
（3）求過點C（

3

-1，3）且與圓相切的切線方程．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）由⊙M的方程，求出圓心和半徑，當切線的斜率不存在時，求得切線方程；當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y-1=k（x-1）．再根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑求得k=

3

4

，可得切線方程，綜合可得結(jié)論．
（2）由題意可得，切線的斜率存在，用點斜式設(shè)出切線方程，再根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑求得斜率，可得要求的切線方程．
（3）根據(jù)切點C在圓上，由MC的斜率求出切線的斜率，利用點斜式求出切線的方程．

解答： 解：（1）⊙M：（x+1）²+（y-2）²=4 表示以M（-1，2）為圓心，半徑等于2的圓，
當切線的斜率不存在時，切線方程為x=1；
當切線的斜率存在時，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y-1=k（x-1），即 kx-y+1-k=0．
再根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，可得

|-k-2+1-k|

k2+1

=2，求得k=

3

4

，故切線方程為

3

4

x-y+

1

4

=0，即 3x-4y+1=0．
綜上可得，過點A（1，1）且與圓相切的切線方程為x=1，或 3x-4y+1=0．
（2）由題意可得，切線的斜率存在，設(shè)過點B（13，4）且與圓相切的切線方程為 y-4=m（x-13），即 mx-y+4-13m=0，
再根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑，可得

|-m-2+4-13m|

m2+1

=2，求得m=0，或m=

7

24

，
故要求的切線方程為y=0，或7x-24y+5=0．
（3）由于切點C在圓上，MC的斜率為

3-2

3 -1+1

=

3

3

，故切線的斜率為-

3

，故切線的方程為y-3=-

3

（x-

3

+1），即

3

x+y+

3

-6=0．

點評：本題主要考查求圓的切線方程的方法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，要注意切線的斜率不存在的情況，屬于基礎(chǔ)題．