Question

16．某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克）．重量的分組區(qū)間為（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖．
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，
（2）在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)Y為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列；
（3）從該流水線上任取5件產(chǎn)品，設(shè)ξ為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求P（ξ=2）及ξ的數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出重量超過505克的產(chǎn)品頻率，由此能求出重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量．
（2）由題意Y的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Y的分布列和EY．
（3）利用樣本估計總體，該流水線產(chǎn)品重量超過505克的概率為0.3，令ξ為任取的5件產(chǎn)品中重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，則ξ～B（5，0.3），由此能求出P（ξ=2）及ξ的數(shù)學(xué)期望和方差．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得重量超過505克的產(chǎn)品頻率為：
（0.05+0.01）×5=0.3，
∴重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為：0.3×40=12．
（2）由題意Y的可能取值為0，1，2，
P（Y=0）=$\frac{{C}_{28}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{63}{130}$，
P（Y=1）=$\frac{{C}_{28}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{56}{130}$，
P（Y=2）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{40}^{2}}$=$\frac{11}{130}$，
∴Y的分布列為：

Y	0	1	2
P	$\frac{63}{130}$	$\frac{56}{130}$	$\frac{11}{130}$

EY=$0×\frac{63}{130}$+$1×\frac{56}{130}$+2×$\frac{11}{130}$=$\frac{39}{65}$．
（3）利用樣本估計總體，該流水線產(chǎn)品重量超過505克的概率為0.3，
令ξ為任取的5件產(chǎn)品中重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，則ξ～B（5，0.3），
∴P（ξ=2）=${C}_{5}^{2}0．{3}^{2}•0．{7}^{3}$=0.3087，
Eξ=5×0.3=1.5，
Dξ=5×0.3×0.7=1.05．

點評 本題考查頻數(shù)的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．