Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2ax+{a}^{2}+1，x≤0}\\{{x}^{2}+\frac{2}{x}-a，x＞0}\end{array}\right.$
（Ⅰ）若對于任意的x∈R，都有f（x）≥f（0）成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）記函數(shù)f（x）的最小值為M（a），解關(guān)于實數(shù)a的不等式M（a-2）＜M（a）．

Answer 1

分析 （I）分別計算f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上的最小值，列出不等式得出a的范圍；
（II）解不等式得出M（a）的解析式，結(jié)合函數(shù)圖象得出a的值．

解答 解：（I）當(dāng)x≤0時，f（x）=（x-a）²+1，
∵f（x）≥f（0），∴f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，
∴a≥0，
當(dāng)x＞0時，f′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
令2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$=0得x=1，
∴當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=3-a，
∵f（x）≥f（0）=a²+1，
∴3-a≥a²+1，解得-2≤a≤1．
又a≥0，
∴a的取值范圍是[0，1]．
（II）由（I）可知當(dāng)a≥0時，f（x）在（-∞，0]上的最小值為f（0）=a²+1，
當(dāng)a＜0時，f（x）在（-∞，0]上的最小值為f（a）=1，
f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（1）=3-a，
解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1≤3-a}\\{a≥0}\end{array}\right.$得0≤a≤1，
解不等式組$\left\{\begin{array}{l}{1≤3-a}\\{a＜0}\end{array}\right.$得a＜0，
∴M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+1，0≤a≤1}\\{1，a＜0}\\{3-a，a≥1}\end{array}\right.$．
∴M（a）在（-∞，0）上為常數(shù)函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
作出M（a）的函數(shù)圖象如圖所示：

令3-a=1得a=2，
∵M(jìn)（a-2）＜M（a），
∴0＜a＜2．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的最值計算，函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．