【題目】已知點(diǎn)是圓：上的一動點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)曲線與軸的正半軸，軸的正半軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，，斜率為的動直線交曲線于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，求四邊形面積的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算，可得，化簡得，利用橢圓的定義，即可求得動點(diǎn)的軌跡方程．

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，求得

和，在利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得點(diǎn)到直線的距離 和點(diǎn)到直線的距離為，得出四邊形面積，即可求解．

（1）由題意， ，

∴.

∴ ，

∴點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)且長軸長為6的橢圓，

即，，∴，，∴.

即點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）由（1）可得，.

設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在第一象限，得，，，

由，得，

則，， ，

點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，

∴四邊形面積 ，

又，∴當(dāng)時，取得最大值.

即四邊形面積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某包子店每天早晨會提前做好若干籠包子，以保證當(dāng)天及時供應(yīng)，每賣出一籠包子的利潤為40元，當(dāng)天未賣出的包子作廢料處理， 每籠虧損20元.該包子店記錄了60天包子的日需求量（單位：籠，），整理得到如圖所示的條形圖，以這60天各需求量的頻率代替相應(yīng)的概率.

（1）設(shè)為一天的包子需求量，求的數(shù)學(xué)期望.

（2）若該包子店想保證以上的天數(shù)能夠足量供應(yīng)，則每天至少要做多少籠包子？

（3）為了減少浪費(fèi)，該包子店一天只做18籠包子，設(shè)為當(dāng)天的利潤（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，證明：；

（3）當(dāng)時，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中,底面是邊長為4的正方形,側(cè)面為正三角形且二面角為.

（Ⅰ）設(shè)側(cè)面與的交線為,求證:;

（Ⅱ）設(shè)底邊與側(cè)面所成角的為,求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某健身館在2019年7、8兩月推出優(yōu)惠項目吸引了一批客戶.為預(yù)估2020年7、8兩月客戶投入的健身消費(fèi)金額，健身館隨機(jī)抽樣統(tǒng)計了2019年7、8兩月100名客戶的消費(fèi)金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）若把2019年7、8兩月健身消費(fèi)金額不低于800元的客戶，稱為“健身達(dá)人”，經(jīng)數(shù)據(jù) 處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，請補(bǔ)全空格處的數(shù)據(jù)，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“健身達(dá)人”與性別有關(guān)？

健身達(dá)人

非健身達(dá)人

總計

男

10

女

30

總計

（2）為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特別推出健身配套營養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案.

方案一：每滿800元可立減100元；

方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.

若某人打算購買1000元的營養(yǎng)品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.

（3）在（2）中的方案二中，金額超過800元可抽獎三次，假設(shè)三次中獎結(jié)果互不影響，且三次中獎的概率為，記為銳角的內(nèi)角，

求證：

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】己知圓：和拋物線：，圓的切線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，.

（1）當(dāng)直線的斜率為1時，求；

（2）設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）已知函數(shù)的兩個零點(diǎn)為．

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，城市缺水問題尤為突出，某市為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)：（單位：噸），用水量不超過的部分按平價收費(fèi)，超過的部分按議價收費(fèi)，為了了解全市市民用用水量分布情況，通過袖樣，獲得了100位居民某年的月用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，……分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該市市民月用水量的中位數(shù)；

（2）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計的值，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

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