Question

1．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且$|{AB}|=\sqrt{13}$，求直線的傾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的極坐標(biāo)方程，得ρ²=4ρcosθ．由x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，得：t²-2tcosα-3=0．利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式能求出直線的傾斜角α的值．

解答 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分（10分），第（1）問(wèn)（5分），第（2）問(wèn)5分）
解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ．
∵x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4．
（2）將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的方程，得：
（tcosα-1）²+（tsinα）²=4，
化簡(jiǎn)得t²-2tcosα-3=0．
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=2cosα}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{4co{s}^{2}α+12}$=$\sqrt{13}$，
4cos²α=1，解得cos$α=±\frac{1}{2}$，
∴$α=\frac{π}{3}$或$α=\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法及應(yīng)用，考查直線的傾斜角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程互化公式的合理運(yùn)用．