Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和Tn=(

1

3

)n-a，數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項為b₁=a，且其前n項和S_n滿足S_n+S_n-1=1+2

SnSn-1

（n≥2，n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和為P_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)已知條件有數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，得

4

81

=(

1

3

-a)×(-

2

27

)，解得a=1，設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則q=

a2

a1

=

1

3

．由b_n＞0，得

Sn

-

Sn-1

=1，數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（2）

1

bnbn-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項求和法能求出數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和為P_n．

解答： 解：（1）根據(jù)已知條件知：
a1=

1

3

-a，a2=T2-T1=-

2

9

，a3=T3-T2=-

2

27

，
有數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，得

a

2 2

=a1•a3，
即

4

81

=(

1

3

-a)×(-

2

27

)，解得a=1，
設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則q=

a2

a1

=

1

3

，
所以 an=-

2

3

×(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n…（3分）
Sn+Sn-1=1+2

SnSn-1

，其中n≥2，n∈N^*，
又b_n＞0，得

Sn

-

Sn-1

=1，
數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以

Sn

=1+(n-1)×1=n，
所以Sn=n2，當(dāng)n≥2，n∈N^*時bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，
b₁=1也適合這個公式，
所以b_n=2n-1（n∈N^*）   （6分）
（2）．由（1）知

1

bnbn-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
則P_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．