【題目】如圖，在直角中，，通過以直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)得到（）.點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn).點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且.

（1）證明：平面；

（2）當(dāng)直線與平面所成的角取最大值時，求二面角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先算出的長度，利用勾股定理證明，再由已知可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；

（2）由（1）可得為直線與平面所成的角，要使其最大，則應(yīng)最小，可得為中點(diǎn)，然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進(jìn)一步得到正弦值.

（1）在中，，由余弦定理得

，

∴，

∴，

由題意可知：∴，，，

∴平面，

平面，∴，

又，

∴平面.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向?yàn)?/span>，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

∵平面，∴在平面上的射影是，

∴與平面所成的角是，∴最大時，即，點(diǎn)為中點(diǎn).

，，，，，

，，設(shè)平面的法向量，

由，得，令，得，

所以平面的法向量，

同理，設(shè)平面的法向量，由，得，

令，得，所以平面的法向量，

∴，，

故二面角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的曲線，它是由德國機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.如圖中的兩個勒洛三角形，它們所對應(yīng)的等邊三角形的邊長比為，若從大的勒洛三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小勒洛三角形內(nèi)的概率為（ ）

A.B.C.D.

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試銷單價x（元）

4

5

6

7

8

9

產(chǎn)品銷量y（件）

q

84

83

80

75

68

已知

（Ⅰ）求出q的值；

（Ⅱ）已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y（件）關(guān)于試銷單價x（元）的線性回歸方程；

（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的線性回歸方程得到的與對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差的絕對值時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”．現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取3個，求“好數(shù)據(jù)”個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（參考公式：線性回歸方程中最小二乘估計(jì)分別為）

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【題目】臨近開學(xué)季，某大學(xué)城附近的一款“網(wǎng)紅”書包銷售火爆，其成本是每件15元．經(jīng)多數(shù)商家銷售經(jīng)驗(yàn)，這款書包在未來1個月（按30天計(jì)算）的日銷售量（個）與時間（天）的關(guān)系如下表所示：

時間（/天）

1

4

7

11

28

…

日銷售量（/個）

196

184

172

156

88

…

未來1個月內(nèi)，前15天每天的價格（元/個）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系式為（且為整數(shù)），后15天每天的價格（元/個）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系式為（且為整數(shù)）．

（1）認(rèn)真分析表格中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)（個）與（天）的關(guān)系式；

（2）試預(yù)測未來1個月中哪一天的日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

（3）在實(shí)際銷售的第1周（7天），商家決定每銷售1件商品就捐贈元利潤給該城區(qū)養(yǎng)老院．商家通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，這周中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間（天）的增大而增大，求的取值范圍．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.

（1）求的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）求曲線C上的點(diǎn)到距離的最大值及該點(diǎn)坐標(biāo).

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【題目】2020年春節(jié)前后，一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延.疫情就是命令，防控就是責(zé)任.在黨中央的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、團(tuán)結(jié)一心，掀起了一場堅(jiān)決打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的人民戰(zhàn)爭.下圖表展示了2月14日至29日全國新冠肺炎疫情變化情況，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（ ）

A.16天中每日新增確診病例數(shù)量呈下降趨勢且19日的降幅最大

B.16天中每日新增確診病例的中位數(shù)小于新增疑似病例的中位數(shù)

C.16天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例的極差均大于2000

D.19日至29日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例之和

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【題目】已知橢圓過點(diǎn)，且焦距為4

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn).以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).

(i)求的取值范圍

(ii)是否存在圓心在原點(diǎn)的定圓恒與直線相切？若存在，求出該定圓的方程；若不存在，說明理由.

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（1）求證： 平面（2）求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)：求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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