Question

設滿足以下兩個條件得有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：

①，②.

（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比；

（2）若一個等差數(shù)列既為階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；

（3）記階“期待數(shù)列”的前項和為.

（）求證：；

（）若存在，使，試問數(shù)列是否為階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）（）證明見解析；（）不能，理由見解析.

【解析】

試題分析：

（1）由階“期待數(shù)列”定義，當，結合已知條件①求得等比數(shù)列的公比，若，由①得, ，得，不可能，所以 ；

（2）設出等差數(shù)列的公差，結合①②求出公差，再由前項和為求出首項，則等差數(shù)列的通項公式可求；

（3）（）由階“期待數(shù)列”前項中所有的和為0，所有項的絕對值之和為1，求得所有非負項的和為，所有負項的和為，從而得到答案；

（）借助于（）中結論知，數(shù)列的前項和為，且滿足，再由，得到，從而說明與不能同時成立.

(1) 若，則由①

由，所以，得，

由②得或,滿足題意.

若，由①得, ，得，不可能.

綜上所述.

(2)設等差數(shù)列的公差為.

因為，所以.

所以.

因為，所以由，得.

由題中的①、②得

, ，

兩式相減得, 即. 又,得.

所以.

(3) 記中非負項和為,負項和為.

則, 得.

（） 因為，所以.

（） 若存在，使，由前面的證明過程知：

，

且.

記數(shù)列的前項和為.若為階“期待數(shù)列”，

則由()知, . 所以

因為， 所以.

所以,.

又, 則.

所以.

所以與不能同時成立.

所以對于有窮數(shù)列,若存在，使，

則數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”.

考點：數(shù)列的通項公式；數(shù)列與不等式的綜合.