Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+sinxcosx，x∈R．
（1）求f（

π

6

）的值；  
（2）若sinα=

3

5

，且α∈（

π

2

，π），求f（

α

2

+

π

24

）．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接代入x=

π

6

于表達式，化簡求解即可得到表達式的值；  
（2）通過sinα=

3

5

，且α∈（

π

2

，π），求出cosα，l利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡函數(shù)的表達式，然后求f（

α

2

+

π

24

）的值即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=cos²x+sinxcosx，x∈R，
f（

π

6

）=cos²

π

6

+sin

π

6

cos

π

6

=(

3

2

)2+

1

2

×

3

2

=

3+ 3

4

…（2分）
（2）f（x）=cos²x+sinxcosx=

1+cos2x

2

+

sin2x

2

=

1

2

+

1

2

(sin2x+cos2x)=

1

2

+sin(2x+

π

4

)…（6分）
f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+sin(α+

π

12

+

π

4

)=

1

2

+

2

2

sin(α+

π

3

)
=

1

2

+

2

2

(

1

2

sinα+

3

2

cosα)…（10分）
因為sinα=

3

5

，且α∈（

π

2

，π），所以cosα=-

4

5

…（11分）
所以f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+

2

2

(

1

2

×

3

5

-

3

2

×

4

5

)=

10+3 2 -4 6

20

…（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角公式的應用，兩角和與差的三角函數(shù)，考查計算能力．