Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），對(duì)任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．若對(duì)滿(mǎn)足題設(shè)條件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，則M的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f′（x）=2x+b，由題設(shè)，x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，從而（b-2）²-4（c-b）≤0，進(jìn)而c≥

b2

4

+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出M的最小值為

3

2

．

解答： 解：f′（x）=2x+b，由題設(shè)，對(duì)任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，
所以（b-2）²-4（c-b）≤0，從而c≥

b2

4

+1，
于是c≥1，且c≥2

b 4 ×1

=|b|=|b|，
當(dāng)c＞|b|時(shí)，有M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

=

c2-b2+bc-b2

c2-b2

=

c+2b

b+c

，
令t=

b

c

，則-1＜t＜1，

c+2b

b+c

=2-

1

t+1

，
而函數(shù)g（t）=2-

1

1+t

（-1＜t＜1）的值域是（-∞，

3

2

）；
因此，當(dāng)c＞|b|時(shí)，M的取值集合為[

3

2

，+∞）；
當(dāng)c=|b|時(shí)，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2，此時(shí)f（c）-f（b）=-8或0，
c²-b²=0，從而f（c）-f（b）≤

3

2

（c²-b²）恒成立；
綜上所述，M的最小值為

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問(wèn)題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．