Question

求滿足下列條件的拋物線的標準方程：

(1)過點(－3，2)；

(2)焦點在直線x－2y－4＝0上．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)若拋物線的焦點在x軸上時，設(shè)拋物線的標準方程為y2＝－2px(p＞0)． 　　把點(－3，2)代入，得22＝－2p×(－3)， 　　解得p＝． 　　所求拋物線的標準方程為y2＝x． 　　當拋物線的焦點在y軸上時，設(shè)拋物線的方程為x2＝2py(p＞0)． 　　由拋物線過(－3，2)，知(－3)2＝4p，p＝． 　　所以所求的拋物線方程為x2＝y． 　　(2)直線x－2y－4＝0與x軸的交點為(4，0)，與y軸的交點為(0，－2)， 　　故拋物線的焦點為(4，0)或(0，－2)． 　　當焦點為(4，0)時，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p＞0)，＝4，p＝8． 　　所以拋物線方程為y2＝16x． 　　當焦點為(0，－2)時，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，＝－2，p＝4． 　　所以拋物線方程為x2＝－8y． 　　解析：求拋物線的標準方程，要根據(jù)所給的條件確定其類型，設(shè)出相應(yīng)的標準方程形式，然后求出參數(shù)p．

提示：

本題(1)問中，焦點的位置不易確定，可作出草圖，結(jié)合圖形，設(shè)出拋物線的方程，從而分情況求解．(2)問主要是根據(jù)拋物線的定義，求出焦點坐標，從而求出方程．