Question

4．“累積凈化量（CCM）”是空氣凈化器質(zhì)量的一個(gè)重要衡量指標(biāo)，它是指空氣凈化器從開始使用到凈化效率為50%時(shí)對(duì)顆粒物的累積凈化量，以克表示．根據(jù)GB/T18801-2015《空氣凈化器》國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)空氣凈化器的累積凈化量（CCM）有如下等級(jí)劃分：

累積凈化量（克）	（3，5]	（5，8]	（8，12]	12以上
等級(jí)	P1	P2	P3	P4

為了了解一批空氣凈化器（共2000臺(tái)）的質(zhì)量，隨機(jī)抽取n臺(tái)機(jī)器作為樣本進(jìn)行估計(jì)，已知這n臺(tái)機(jī)器的
累積凈化量都分布在區(qū)間（4，14]中，按照（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，均勻分組，其中累積凈化量在（4，6]的所有數(shù)據(jù)有：4.5，4.6，5.2，5.7和5.9，并繪制了如下頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求n的值及頻率分布直方圖中的x值；
（Ⅱ）以樣本估計(jì)總體，試估計(jì)這批空氣凈化器（共2000臺(tái)）中等級(jí)為P2的空氣凈化器有多少臺(tái)？
（Ⅲ）從累積凈化量在（4，6]的樣本中隨機(jī)抽取2臺(tái)，求恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出在（4，6]之間的數(shù)據(jù)一共有6個(gè)，再由頻布直方圖得：落在（4，6]之間的頻率為0.03×2=0.06，由此能求出n的值及頻率分布直方圖中的x值．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知：落在（6，8]之間共24臺(tái)，在（5，6]之間共4臺(tái)，從而落在（5，8]之間共28臺(tái)，由此能估計(jì)這批空氣凈化器（共2000臺(tái)）中等級(jí)為P2的空氣凈化器有多少臺(tái)．
（Ⅲ）設(shè)“恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2”為事件B，依題意落在（4，6]之間共6臺(tái)，屬于國(guó)標(biāo)P2級(jí)的有4臺(tái)，則從（4，6]中隨機(jī)抽取2臺(tái)，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}=15$，事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$=8，由此能求出恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵在（4，6]之間的數(shù)據(jù)一共有6個(gè)，
再由頻布直方圖得：落在（4，6]之間的頻率為0.03×2=0.06，
∴n=$\frac{6}{0.06}$=100，
由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：
（0.03+x+0.12+0.14+0.15）×2=1，
解得x=0.06．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知：落在（6，8]之間共：0.12×2×100=24臺(tái)，
又∵在（5，6]之間共4臺(tái)，
∴落在（5，8]之間共28臺(tái)，
∴估計(jì)這批空氣凈化器（共2000臺(tái)）中等級(jí)為P2的空氣凈化器有560臺(tái)．
（Ⅲ）設(shè)“恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2”為事件B，
依題意落在（4，6]之間共6臺(tái)，屬于國(guó)標(biāo)P2級(jí)的有4臺(tái)，
則從（4，6]中隨機(jī)抽取2臺(tái)，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{2}=15$，
事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)m=${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}$=8，
∴恰好有1臺(tái)等級(jí)為P2的概率P（B）=$\frac{m}{n}=\frac{8}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的求法，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．