Question

16．某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，關(guān)于三角形與三角函數(shù)知識的應(yīng)用（約定三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a，b，c）得出如下一些結(jié)論：
（1）若△ABC是鈍角三角形，則tanA+tanB+tanC＞0；
（2）若△ABC是銳角三角形，則cosA+cosB＞sinA+sinB；
（3）在三角形△ABC中，若A＜B，則cos（sinA）＜cos（tanB）
（4）在△ABC中，若$sinB=\frac{2}{5}，tanC=\frac{3}{4}$，則A＞C＞B
其中錯誤命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 （1）利用正切的和角公式變形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化簡整理．
（2）根據(jù)三角形是銳角三角形，得到A+B＞90°，變形為B＞90°-A，根據(jù)三角函數(shù)在第一象限的單調(diào)性，得到cosB＜sinA，sinB＞cosA，即可得解；
（3）當(dāng)B=$\frac{π}{2}$時，不等式不成立；
（4）根據(jù)sinB=$\frac{2}{5}$，討論B為銳角或鈍角，利用特殊角的三角函數(shù)值及正弦函數(shù)的增減性確定出B的范圍；根據(jù)tan C=$\frac{3}{4}$可知C為銳角，根據(jù)正切函數(shù)的增減性和特殊角的三角函數(shù)值得到角C的范圍，再根據(jù)內(nèi)角和定理得到A的范圍即可比較大�。�

解答 解：（1）∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC，
∴△ABC是鈍角三角形，可得：tanAtanBtanC＜0，故錯誤；
（2）∵△ABC為銳角三角形，
∴A+B＞90°，B＞90°-A，
∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，
∴cosB-sinA＜0，sinB-cosA＞0，
∴cosB-sinA＜sinB-cosA，可得cosA+cosB＜sinA+sinB，故錯誤；
（3）當(dāng)B=$\frac{π}{2}$時，tanB不存在，故錯誤；
（4）由tanC=$\frac{3}{4}$得到0＜C＜90°，且tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{3}{4}$＜1=tan45°，
因?yàn)檎�切函�?shù)在（0，90°）為增函數(shù)，所以得到30°＜C＜45°；
由sinB=$\frac{2}{5}$可得到0＜B＜90°或90°＜B＜180°，
在0＜B＜90°時，sin30°=$\frac{1}{2}$＞$\frac{2}{5}$，因?yàn)檎�弦函�?shù)在（0，90°）為增函數(shù)，得到0＜B＜30°；
在90°＜B＜180°時，sin150°=$\frac{1}{2}$＞$\frac{2}{5}$，但是正弦函數(shù)在90°＜B＜180°為減函數(shù)，得到B＞150°，則B+C＞180°，
矛盾，不成立．
所以0＜B＜30°．由B和C的取值得到A為鈍角，
所以A＞C＞B，故正確；
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查兩角和的正切公式以及三角函數(shù)的符號，訓(xùn)練運(yùn)用公式熟練變形的能力，考查學(xué)生會根據(jù)三角函數(shù)值的范圍及三角函數(shù)的增減性和特殊角的三角函數(shù)值來比較角度的大小，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．