Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x|，x≤1}\\{-lnx，x＞1}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）-ax=0恰有1個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{e}$）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 作出f（x）和y=ax的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象及交點個數(shù)得出a的范圍．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＜0}\\{1-x，0≤x≤1}\\{-lnx，x＞1}\end{array}\right.$，
作出y=f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)直線y=ax與y=-lnx相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=a{x}_{0}}\\{{y}_{0}=-ln{x}_{0}}\\{-\frac{1}{{x}_{0}}=a}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=-1，a=-$\frac{1}{e}$．
∵f（x）-ax=0只有一解，
∴y=f（x）與y=ax的函數(shù)圖象只有1個交點，
∴a≥1或a＜-$\frac{1}{e}$．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{e}$）∪[1，+∞）．

點評 本題考查了方程解與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．