Question

3．已知函數(shù)f（x）=ae^x-$\frac{1}{2}$x²-x（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+（e-2）y-1=0垂直，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，e^xlnx＞x$-\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程可得a=1，進(jìn)而得到f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)g（x）=e^x-x-1，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值，進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）方法一、函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即為h（x）=ae^x-x-1有兩個(gè)零點(diǎn)，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，求出h（x）的單調(diào)區(qū)間和最值，解不等式即可得到所求a的范圍；
方法二、函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即為f′（x）=ae^x-x-1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，即有a=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$有兩個(gè)不等實(shí)根．
令h（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，極值和最值，結(jié)合x＞0，x≤0，h（x）的變化情況，即可得到所求a的范圍；
（3）由（1）可得x＞1時(shí)，e^x＞x+1＞0，lnx＞0，即有e^xlnx＞（x+1）lnx，設(shè)φ（x）=（x+1）lnx-x+$\frac{1}{x}$，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得φ（x）＞φ（1）=0，由不等式的傳遞性，即可得證．

解答 解：（1）f（x）=ae^x-$\frac{1}{2}$x²-x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ae^x-x-1，
可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為ae-2，
由切線與直線x+（e-2）y-1=0垂直，可得（ae-2）•（-$\frac{1}{e-2}$）=-1，
解得a=1，即f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²-x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-x-1，
令g（x）=e^x-x-1，g′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有g(shù)（x）≥g（0）=0，即有f′（x）≥0，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
（2）解法一、由f′（x）=ae^x-x-1，
函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即為h（x）=ae^x-x-1有兩個(gè)零點(diǎn)，
h′（x）=ae^x-1，當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，h（x）不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令h′（x）=0，可得x=-lna，
當(dāng)x＞-lna時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增；當(dāng)x＜-lna時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減．
可得x=-lna處h（x）有極小值也為最小值，
若函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則h（-lna）＜0，即lna＜0，即有0＜a＜1；
解法二、由f′（x）=ae^x-x-1，
函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即為f′（x）=ae^x-x-1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即有a=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$有兩個(gè)不等實(shí)根．
令h（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，h′（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減；當(dāng)x＜0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增．
h（x）在x=0處取得最大值1，
當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，
當(dāng)x≤0時(shí)，h（0）=1，h（-2）=-e²＜0，結(jié)合h（x）在（-∞，0）遞增，可得h（x）在（-∞，0）只有一個(gè)零點(diǎn)；
故0＜a＜1．
（3）證明：由（1）可得x＞1時(shí)，e^x＞x+1＞0，lnx＞0，
即有e^xlnx＞（x+1）lnx，
設(shè)φ（x）=（x+1）lnx-x+$\frac{1}{x}$，φ′（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$-1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=lnx+$\frac{1}{x}$（1-$\frac{1}{x}$）＞0（x＞1），
所以φ（x）在（1，+∞）遞增，即有φ（x）＞φ（1）=0，
即（x+1）lnx＞x-$\frac{1}{x}$，
故當(dāng)x＞1時(shí)，e^xlnx＞x$-\frac{1}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及不等式的證明，注意運(yùn)用分類討論和參數(shù)分離法，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．