Question

3．已知實數(shù)a、b都是常數(shù)，且函數(shù)f（x）=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^x在點（0，f（0））處的切線方程是3x+4y-2=0，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=（x+2）f（x）-klnx，?x∈（0，+∞），總有g（x）≥0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出x→0時的函數(shù)解析式，求出f′（x），進一步求得f′（0），再求出f（0）由題意聯(lián)立關于a，b的方程組解得a=1，b=0．則函數(shù)解析式可求；
（2）寫出分段函數(shù)g（x）=（x+2）f（x）-klnx=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）-klnx，x≥1}\\{-（x-1）-klnx，x＜1}\end{array}\right.$．然后對x分類分析，分離參數(shù)k后，利用導數(shù)求出所構造函數(shù)的范圍，得到k的范圍，取交集得答案．

解答 解：（1）當x→0時，f（x）=$\frac{a|x-1|}{x+2}$+be^x=$\frac{-a（x-1）}{x+2}+b{e}^{x}$，
∴f′（x）=$-\frac{2ax+3a}{（x+2）^{2}}+b{e}^{x}$，則f′（0）=$-\frac{3a}{4}+b$=$-\frac{3}{4}$，
又f（0）=$\frac{a}{2}+b=\frac{1}{2}$，聯(lián)立解得a=1，b=0．
∴f（x）=$\frac{|x-1|}{x+2}$；
（2）g（x）=（x+2）f（x）-klnx=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）-klnx，x≥1}\\{-（x-1）-klnx，x＜1}\end{array}\right.$．
當x=1時，g（x）=0≥0對任意實數(shù)k恒成立；
當x＞1時，由g（x）≥0，得x-1-klnx≥0，即k≤$\frac{x-1}{lnx}$，
令h（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，h′（x）=$\frac{lnx-1+\frac{1}{x}}{l{n}^{2}x}$，令t（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，則t′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}＞0$，
則t（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴t（x）＞t（1）=0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）＞h（1）=0，則k≤0；
當0＜x＜1時，由g（x）≥0，得x-1-klnx≥0，即k≥$\frac{x-1}{lnx}$，
令h（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，h′（x）=$\frac{lnx-1+\frac{1}{x}}{l{n}^{2}x}$，令t（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，
則t′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{x-1}{{x}^{2}}＜0$，
則t（x）在（0，1）上為減函數(shù)，∴t（x）＞t（1）=0，
即h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
∴h（x）＜h（1）=0，則k≥0．
綜上，要使g（x）=（x+2）f（x）-klnx，?x∈（0，+∞），
總有g（x）≥0恒成立，則實數(shù)k=0．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．