Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若a=1，b=c，且|f（x）|在x∈[0，1]上單調遞增，求實數b的取值范圍；
（Ⅱ）當c=0時，有f（-2）=6，|2a+b|≤3．若對于任意的實數a，存在最大的實數t，使得當x∈[-2，t]時，|f（x）|≤6恒成立，試求用a表示t的表達式．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數的性質,二次函數在閉區(qū)間上的最值

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）把已知代入函數解析式，分b≥0和b＜0由對稱軸的范圍求得b的范圍；
（Ⅱ）由f（-2）=6，把f（x）的表達式轉化為僅含有a的代數式，然后分a=0，a∈(0，

3

2

]討論，當a∈(0，

3

2

]時借助于函數的單調性分析求解．

解答： 解：（Ⅰ）由于已知得f（x）=x²+bx+b，圖象過定點（0，b），且由|f（x）|在x∈[0，1]
上單調遞增，可知f（x）圖象與x軸在[0，1]上沒有交點．
①當b≥0時，要使|f（x）|在x∈[0，1]上單調遞增，可知f（x）≥0在[0，1]上恒成立，
則只須對稱軸-

b

2

≤0，得b≥0；
②當b＜0時，要使|f（x）|在x∈[0，1]上單調遞增，可知f（x）＜0在[0，1]上恒成立，
則只須對稱軸-

b

2

≥1，得b≤-2；  
綜上所述，b≤-2或b≥0．
（Ⅱ）由f（-2）=6，得b=2a-3，且f（x）=ax²+（2a-3）x，
又∵-3≤2a+b≤3，即-3≤4a-3≤3，得a∈[0，

3

2

]，
∵已知函數為二次函數，∴a≠0，
則a∈(0，

3

2

]．
當a∈(0，

3

2

]時，f（x）=ax²+（2a-3）x，拋物線開口向上，對稱軸x=

3-2a

2a

，
f(-2)=f(

3

a

)=6，最小值為f(

3-2a

2a

)=-

(2a-3)2

4a

．
（�。┊�-

(2a-3)2

4a

≥-6時，即4a²-36a+9≤0，解得

9-6 2

2

≤a≤

3

2

，
要使|f（x）|≤6在x∈[-2，t]恒成立，此時t的最大值為f（x）=6的解x1=-2，x2=

3

a

中較大的根，
∴t=

3

a

．
（ⅱ）當-

(2a-3)2

4a

＜-6時，即4a²-36a+9＞0，解得0＜a＜

9-6 2

2

，
此時令f（x）=-6，解得x=

3-2a± 4a2-36a+9

2a

，
要使|f（x）|≤6在x∈[-2，t]恒成立，此時t為其中較小的根，知t=

3-2a- 4a2-36a+9

2a

．
綜上可得

3-2a- 4a2-36a+9 2a ，0＜a＜ 9-6 2 2 3 a ， 9-6 2 2 ≤a≤ 3 2

．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了利用二次函數求最值，考查了分類討論的數學思想方法，綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力，是壓軸題．