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5.已知函數(shù)f(x)=lnx+mx(m為常數(shù)).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m322時,設(shè)gx=fx+12x2的兩個極值點x1,x2(x1<x2)恰為h(x)=2lnx-ax-x2的零點,求y=x1x2hx1+x22的最小值.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論m的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到x1+x2=-m,x1x2=1,求出y=x1x2hx1+x22的解析式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最小值即可.

解答 解:(1)fx=1x+m=1+mxx,x>0,
當(dāng)m<0時,由1+mx>0,解得x1m,
即當(dāng)0x1m時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
由1+mx<0解得x1m,即當(dāng)x1m時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)m=0時,fx=1x0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)m>0時,1+mx>0,故f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)m<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為01m,單調(diào)遞減區(qū)間為1m+;
當(dāng)m≥0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
(2)由gx=lnx+mx+12x2gx=1x+m+x=x2+mx+1x,
由已知x2+mx+1=0有兩個互異實根x1,x2,
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-m,x1x2=1,
因為x1,x2(x1<x2)是h(x)的兩個零點,
hx1=2lnx1x12ax1=0hx2=2lnx2x22ax2=0
由②-①得:2lnx2x1x22x12ax2x1=0,
解得a=2lnx2x1x2x1x2+x1,
因為hx=2x2xa,得hx1+x22=4x1+x22x1+x22a,
a=2lnx2x1x2x1x2+x1代入得:
hx1+x22=4x1+x22x1+x22[2lnx2x1x2x1x2+x1]
=2lnx2x1x2x1+4x1+x2=2x2x1[lnx2x12x2x1x1+x2]=2x2x1[lnx2x12x2x11x2x1+1],
所以y=x1x2hx1+x22=2[lnx2x12x2x11x2x1+1]
設(shè)t=x2x11,因為x1+x22=x12+x22+2x1x2=m292,
所以x12+x2252,所以x12+x22x1x2=x1x2+x2x152
所以t+1t52,所以t≥2.
構(gòu)造Ft=lnt2t1t+1,得Ft=1t4t+12=t12tt+120
Ft=lnt2t1t+1在[2,+∞)上是增函數(shù),
所以Fxmin=F2=ln223,即y=x1x2hx1+x22的最小值為2ln243

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.

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