分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論m的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到x1+x2=-m,x1x2=1,求出y=(x1−x2)h′(x1+x22)的解析式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其最小值即可.
解答 解:(1)f′(x)=1x+m=1+mxx,x>0,
當(dāng)m<0時,由1+mx>0,解得x<−1m,
即當(dāng)0<x<−1m時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
由1+mx<0解得x>−1m,即當(dāng)x>−1m時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)m=0時,f′(x)=1x>0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)m>0時,1+mx>0,故f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)m<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,−1m),單調(diào)遞減區(qū)間為(−1m,+∞);
當(dāng)m≥0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
(2)由g(x)=lnx+mx+12x2得g′(x)=1x+m+x=x2+mx+1x,
由已知x2+mx+1=0有兩個互異實根x1,x2,
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-m,x1x2=1,
因為x1,x2(x1<x2)是h(x)的兩個零點,
故h(x1)=2lnx1−x12−ax1=0①h(x2)=2lnx2−x22−ax2=0②
由②-①得:2lnx2x1−(x22−x12)−a(x2−x1)=0,
解得a=2lnx2x1x2−x1−(x2+x1),
因為h′(x)=2x−2x−a,得h′(x1+x22)=4x1+x2−2•x1+x22−a,
將a=2lnx2x1x2−x1−(x2+x1)代入得:
h′(x1+x22)=4x1+x2−2•x1+x22−[2lnx2x1x2−x1−(x2+x1)]
=−2lnx2x1x2−x1+4x1+x2=−2x2−x1[lnx2x1−2(x2−x1)x1+x2]=−2x2−x1[lnx2x1−2(x2x1−1)x2x1+1],
所以y=(x1−x2)h′(x1+x22)=2[lnx2x1−2x2x1−1x2x1+1],
設(shè)t=x2x1>1,因為(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2=m2≥92,
所以x12+x22≥52,所以x12+x22x1x2=x1x2+x2x1≥52,
所以t+1t≥52,所以t≥2.
構(gòu)造F(t)=lnt−2t−1t+1,得F′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0,
則F(t)=lnt−2t−1t+1在[2,+∞)上是增函數(shù),
所以F(x)min=F(2)=ln2−23,即y=(x1−x2)h′(x1+x22)的最小值為2ln2−43.
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | \sqrt{7} | C. | 2\sqrt{7} | D. | 2\sqrt{3} |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com