【題目】如圖，在多面體中，四邊形為矩形，，均為等邊三角形，，．

（Ⅰ）過作截面與線段交于點，使得平面，試確定點的位置，并予以證明；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）為線段的中點，證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中點，連結(jié)，，可得，，，且．可得，從而面，即面面．

（Ⅱ）連結(jié)交于，則為的中點，連結(jié)，當面時，，所以是中點．由（1）知，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，利用向量求解．

解：（Ⅰ）取中點，連結(jié)，，

是邊長為2的正三角形，，，

又，，且．

于是，從而．

面，面，

所以面，而面，所以面面．

（Ⅱ）連結(jié)交于，則為的中點，連結(jié)，當面時，，所以是中點．

由（Ⅰ）知，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，， ， ，，

，．

設面的法向量為，由，取．

面的法向量是，

，，

．

二面角是鈍角，二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點A（0，2），動點M到點A的距離比動點M到直線y＝﹣1的距離大1，動點M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）Q為直線y＝﹣1上的動點，過Q做曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于兩點，延長交橢圓于點，的周長為8.

（1）求的離心率及方程；

（2）試問：是否存在定點，使得為定值？若存在，求；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某醫(yī)科大學實習小組為研究實習地晝夜溫差與患感冒人數(shù)之間的關系，分別到當?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄了1月份至3月份每月5日、20日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：

日期

1月5日

1月20日

2月5日

2月20日

3月5日

3月20日

晝夜溫差（）

10

11

13

12

8

6

就診人數(shù)（人）

22

25

29

26

16

12

該小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中隨機選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

（1）求剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率；

（2）若選取的是1月20日，2月5日，2月20日，3月5日四組數(shù)據(jù).

①請根據(jù)這四組數(shù)據(jù)，求出關于的線性回歸方程（，用分數(shù)表示）；

②若某日的晝夜溫差為，預測當日就診人數(shù)約為多少人？

附參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，g（x）＝b（x﹣1），其中a≠0，b≠0

（1）若a＝b，討論F（x）＝f（x）﹣g（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知函數(shù)f（x）的曲線與函數(shù)g（x）的曲線有兩個交點，設兩個交點的橫坐標分別為x1，x2，證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校從2011年到2018年參加“北約”，“華約”考試而獲得加分的學生（每位學生只能參加“北約”，“華約”一種考試）人數(shù)可以通過以下表格反映出來．（為了方便計算，將2011年編號為1，2012年編號為2，依此類推……）

年份x

1

2

3

4

5

6

7

8

人數(shù)y

2

3

4

4

7

7

6

6

（1）據(jù)悉，該校2018年獲得加分的6位同學中，有1位獲得加20分，2位獲得加15分，3位獲得加10分，從該6位同學中任取兩位，記該兩位同學獲得的加分之和為X，求X的分布列及期望．

（2）根據(jù)最近五年的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出y與x之間的線性回歸方程，并用以預測該校2019年參加“北約”，“華約”考試而獲得加分的學生人數(shù)．（結(jié)果要求四舍五入至個位）

參考公式：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求證：當時，；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設，其中.若對一切恒成立，則①；②；③既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；④的單調(diào)遞增區(qū)間是；⑤存在經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖像不相交.以上結(jié)論正確的是________________.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】四棱錐P﹣ABCD中平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，M為AD中點，PA＝PD，AD＝AB＝2CD＝2．

（1）求證：平面PMB⊥平面PAC；

（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

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