Question

16．設S_n為等差數列{a_n}的前n項的和a₁=1，$\frac{{{S_{2017}}}}{2017}-\frac{{{S_{2015}}}}{2015}=1$，則數列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前2017項和為（　�。�

• A． $\frac{2017}{1009}$
• B． $\frac{2017}{2018}$
• C． $\frac{1}{2017}$
• D． $\frac{1}{2018}$

Answer 1

分析 利用等差數列的性質，等差數列的通項公式以及前n項和公式，求得數列用裂項法進行求和{a_n}的通項公式、前n項公式，可得數列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的通項公式，進而用裂項法求得它的前2017項和．

解答 解：S_n為等差數列{a_n}的前n項的和a₁=1，設公差為d，
∵$\frac{{{S_{2017}}}}{2017}-\frac{{{S_{2015}}}}{2015}=1$=$\frac{201{7a}_{1}+\frac{2017•2016}{2}d}{2017}$-$\frac{201{5a}_{1}+\frac{2015•2014}{2}d}{2015}$=a₁+1008d-（a₁+1007d）=d，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n，S_n=n•1+$\frac{n（n-1）}{2}$•1=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
則數列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前2017項和為2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$）=2（1-$\frac{1}{2018}$）=$\frac{2017}{1009}$，
故選：A．

點評 本題主要考查等差數列的性質，等差數列的通項公式以及前n項和公式，用裂項法進行求和，屬于中檔題．