Question

13．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²+（a-6）x在（0，3）上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（0，2）．

Answer 1

分析 求導，求出函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍，再求補集．

解答 解：函數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x}+2x$+a-6．
①若函數(shù)f（x）=alnx+x²+（a-6）x在（0，3）上單調(diào)遞增，
則f′（x）=$\frac{a}{x}+2x$+a-6≥0在（0，3）上恒成立，
即a≥$\frac{6x-2{x}^{2}}{x+1}$=-2[（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-5]在（0，3）上恒成立，
函數(shù)g（t）=t+$\frac{4}{t}$，t∈（1，4），g（t）∈[4，5），∴a≥2；
②若函數(shù)f（x）=alnx+x²+（a-6）x在（0，3）上單調(diào)遞減，
則f′（x）=$\frac{a}{x}+2x$+a-6≤0在（0，3）上恒成立，
即a≤$\frac{6x-2{x}^{2}}{x+1}$=-2[（x+1）+$\frac{4}{x+1}$-5]在（0，3）上恒成立，
函數(shù)g（t）=t+$\frac{4}{t}$，t∈（1，4），g（t）∈[4，5），∴a≤0．
則函數(shù)f（x 在（0，3）上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（0，2）
故答案為（0，2）

點評 本題的考點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于參數(shù)問題要注意進行分類討論．屬于中檔題．