【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）當時，求的最大值和最小值；

（2）當時，證明：在上有且僅有一個極大值點和一個極小值點（分別記為），且為定值．

【答案】（1）的最大值為，最小值為.（2）見解析

【解析】

（1）當時，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，利用導數(shù)研究當時函數(shù)的單調性，由此求得函數(shù)在上的單調性，進而求得最大值和最小值.（2）①將寫成分段函數(shù)的形式，當利用導數(shù)求得函數(shù)有一個極大值點和一個極小值點，當時，函數(shù)單調遞增，沒有極值點.由此證得結論成立. ②根據(jù)①的結論，寫出關于極值點的韋達定理，計算出為定值.

（1）當時，是奇函數(shù)，

考慮，，

求導得，

當時，，當時，

所以在單調遞減，單調遞增，

又根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，

可知在單調遞減，和單調遞增

，，

所以的最大值為，最小值為.

（2）①當時，

當時，，，

，

所以在有2個根，，

其中，，則在和單調遞增，在

又在單調遞增，

所以在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增

所以在上有且僅有一個極大值點和一個極小值點

②因為是方程的兩個根，

所以，

又，

所以為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有一名高二學生盼望2020年進入某名牌大學學習，假設該名牌大學有以下條件之一均可錄取：①2020年2月通過考試進入國家數(shù)學奧賽集訓隊（集訓隊從2019年10月省數(shù)學競賽一等獎中選拔）：②2020年3月自主招生考試通過并且達到2020年6月高考重點分數(shù)線，③2020年6月高考達到該校錄取分數(shù)線（該校錄取分數(shù)線高于重點線），該學生具備參加省數(shù)學競賽、自主招生和高考的資格且估計自己通過各種考試的概率如下表

省數(shù)學競賽一等獎

自主招生通過

高考達重點線

高考達該校分數(shù)線

0.5

0.6

0.9

0.7

若該學生數(shù)學競賽獲省一等獎，則該學生估計進入國家集訓隊的概率是0.2.若進入國家集訓隊，則提前錄取，若未被錄取，則再按②、③順序依次錄取：前面已經(jīng)被錄取后，不得參加后面的考試或錄取.（注：自主招生考試通過且高考達重點線才能錄�。�

（Ⅰ）求該學生參加自主招生考試的概率；

（Ⅱ）求該學生參加考試的次數(shù)的分布列及數(shù)學期望；

（Ⅲ）求該學生被該校錄取的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐P-ABCD中，側面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形， ．

（1）求證：平面PBD：

（2）設E為側棱PC上異于端點的一點，，試確定的值，使得二面角E-BD-P的余弦值為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線：（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）設點的直角坐標為，直線與曲線的交點為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖甲，在直角梯形中，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2BC=4，過A點作AE⊥CD，垂足為E，現(xiàn)將ΔADE沿AE折疊，使得DE⊥EC.取AD的中點F，連接BF，CF，EF，如圖乙。

(1)求證:BC⊥平面DEC；

(2)求二面角C-BF-E的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出三個命題：①直線上有兩點到平面的距離相等，則直線平行平面；②夾在兩平行平面間的異面直線段的中點的連線平行于這個平面；③過空間一點必有唯一的平面與兩異面直線平行.正確的是（ ）

A. ②③B. ①②C. ①②③D. ②

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，證明函數(shù)是增函數(shù)；

（2）是否存在實數(shù)，使得只有唯一的正數(shù)，當時恒有：，若這樣的實數(shù)存在，試求、的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出以下結論：

①命題“若，則”的逆否命題為“若，則”；

②“”是“”的充分條件；

③命題“若，則方程有實根”的逆命題為真命題；

④命題“若，則且”的否命題是真命題.

則其中錯誤的是__________．（填序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，.

（1）求證：平面PAD；

（2）求PD與平面PCE所成角的正弦值.

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