Question

如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.

（1）求證：AB1⊥面A1BD；

（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；

（3）求點C到平面A1BD的距離.

 

 

Answer 1

（1）證明過程見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）取中點，連結，取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，寫出坐標，進而得出向量坐標，利用向量垂直時坐標關系可證明，，可得平面；（2）令平面的法向量為，則，可得一法向量，由（1）為平面的法向量,那么二面角的余弦值即為，；（3）可求，．為平面的法向量,所以C到平面A1BD的距離.

 

【解析】
（1）取中點，連結．為正三角形，,

在正三棱柱中，平面平面，

平面,

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，

，，．

，，

，,

平面． 4分

（2）設平面的法向量為,

，,

，，

令得為平面的一個法向量,

由（1）知平面， 為平面的法向量,

，,

二面角的余弦值為． 9分

（3）由（2），為平面法向量，

,

點到平面的距離． 12分

考點：空間向量的應用，線面垂直的判定.