Question

17．現(xiàn)有一張長為108cm，寬為acm（a＜108）的長方形鐵皮ABCD，準(zhǔn)備用它做成一個(gè)無蓋長方體鐵皮容器，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失，如圖，在長方形ABCD的一個(gè)角上剪下一塊邊長為x（cm）的正方形鐵皮，作為鐵皮容器的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮容器的側(cè)面，設(shè)長方體的高為y（cm），體積為V（cm³）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求該鐵皮容器體積V的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一張長為108cm，寬為acm的長方形鐵皮ABCD，可得x²+4xy=108a，進(jìn)而可確定x與y的關(guān)系式；
（2）鐵皮盒體積V（x）=x²y，求導(dǎo)函數(shù)，討論a的范圍，判斷單調(diào)性，確定函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由題意得x²+4xy=108a，
即y=$\frac{108a-{x}^{2}}{4x}$，0＜x≤a．  
（2）鐵皮盒體積V（x）=x²y=x²•$\frac{108a-{x}^{2}}{4x}$=$\frac{1}{4}$（-x³+108ax），0＜x≤a． 
V′（x）=$\frac{1}{4}$（-3x²+108a），
令V′（x）=0，得x=6$\sqrt{a}$，
當(dāng)0＜a≤36，即6$\sqrt{a}$≥a時(shí)，在（0，a）上V′（x）＞0，V（x）遞增，
可得V（x）_max=V（a）=$\frac{1}{4}$a²（108-a）；
當(dāng)36＜a＜108，即6$\sqrt{a}$＜a時(shí)，在（0，6$\sqrt{a}$）上V′（x）＞0，V（x）遞增，
在（6$\sqrt{a}$，a）上V′（x）＜0，V（x）遞減．
可得V（x）_max=V（6$\sqrt{a}$）=108a$\sqrt{a}$．
綜上可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{a}^{2}（108-a），0＜a≤36}\\{108a\sqrt{a}，36＜a＜108}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用：求最值，考查分類討論思想方法，屬于中檔題．