Question

15．已知函數(shù)f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+1，x∈R．
（1）求f（x）的小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）求f（x）在x$∈[{-\frac{π}{4}，\left.{\frac{π}{4}}]}$的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x$∈[{-\frac{π}{4}，\left.{\frac{π}{4}}]}$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+1，x∈R．
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{3}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{3}{2}$．
（1）∴f（x）的小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）當(dāng)x$∈[{-\frac{π}{4}，\left.{\frac{π}{4}}]}$上時(shí)，
可得：2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為1+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$．
∴f（x）在x$∈[{-\frac{π}{4}，\left.{\frac{π}{4}}]}$的值域?yàn)閇$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{5}{2}$]；

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．