Question

12．一農(nóng)民有基本農(nóng)田2畝，根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，若種水稻，則每季每畝產(chǎn)量為400公斤；若種花生，則每季每畝產(chǎn)量為100公斤．但水稻成本較高，每季每畝240元，而花生只需80元，且花生每公斤賣5元，稻米每公斤賣3元．現(xiàn)該農(nóng)民有400元，怎樣安排才能獲得最大利潤？最大利潤為多少？

Answer 1

分析 先設(shè)該農(nóng)民種x畝水稻，y畝花生時，能獲得利潤z元，根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，目標(biāo)函數(shù)表示直線在y軸上的截距的420倍，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可

解答 解：設(shè)該農(nóng)民種x畝水稻，y畝花生時，能獲得利潤z元．
則z=（3×400-240）x+（5×100-80）y=960x+420y
即y=-$\frac{16}{7}$x+$\frac{z}{420}$…（2分）$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{240x+80y≤400}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$
即  $\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{3x+y≤5}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$…（4分）
作出可行域如圖陰影部分所示，…（8分）
作出基準(zhǔn)直線y=-$\frac{16}{7}$x，在可行域內(nèi)平移直線y=-$\frac{16}{7}$x+$\frac{z}{420}$，
可知當(dāng)直線過點(diǎn)B時，縱截距有最大值，…（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{3x+y=5}\end{array}\right.$解得B（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），…（12分）
故當(dāng)x=1.5，y=0.5時，z_max=1650元，…（13分）
答：該農(nóng)民種1.5畝水稻，0.5畝花生時，能獲得最大利潤，最大利潤為1650元．

點(diǎn)評 本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用，以及利用幾何意義求最值．在解決線性規(guī)劃的問題時，我們常用“角點(diǎn)法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域②求出可行域各個角點(diǎn)的坐標(biāo)③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)④驗(yàn)證，求出最優(yōu)解．