Question

11．已知f（x）=x²e^x，若函數(shù)g（x）=f²（x）-kf（x）+1恰有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （2，$\frac{4}{{e}^{2}}$+$\frac{{e}^{2}}{4}$）
• C． （$\frac{8}{{e}^{2}}$，2）
• D． （$\frac{4}{{e}^{2}}$+$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷f（x）的單調(diào)性和極值，得出方程f（x）=t的根的分布情況，從而得出關(guān)于t的方程t²-kt+1=0的根的分布情況，利用二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式求出k的范圍．

解答 解：f′（x）=2xe^x+x²e^x=x（x+2）e^x，
令f′（x）=0，解得x=0或x=-2，
∴當(dāng)x＜-2或x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞增，在（-2，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極小值f（0）=0．
作出f（x）的大致函數(shù)圖象如圖所示：

令f（x）=t，則當(dāng)t=0或t＞$\frac{4}{{e}^{2}}$時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=t只有1解；
當(dāng)t=$\frac{4}{{e}^{2}}$時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=t有2解；
當(dāng)0＜t＜$\frac{4}{{e}^{2}}$時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=t有3解．
∵g（x）=f²（x）-kf（x）+1恰有四個(gè)零點(diǎn)，
∴關(guān)于t的方程t²-kt+1=0在（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$）上有1解，在（$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）∪{0}上有1解，
顯然t=0不是方程t²-kt+1=0的解，
∴關(guān)于t的方程t²-kt+1=0在（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$）和（$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）上各有1解，
∴$\frac{16}{{e}^{4}}-\frac{4k}{{e}^{2}}+1＜0$，解得k＞$\frac{4}{{e}^{2}}+\frac{{e}^{2}}{4}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判斷與極值計(jì)算，屬于中檔題．