Question

19．如圖，在三棱錐A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6$\sqrt{3}$，BC=CD=6，E點在平面BCD內(nèi)，EC=BD，EC⊥BD．    
（I）求證：AE⊥平面BCDE；
（Ⅱ）設點G在棱AC上，且CG=2GA，試求三棱錐G-BCE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知通過求解三角形可得AE⊥BD，AE⊥EC，再由線面垂直的判定可得AE⊥平面BCDE；
（Ⅱ）過G作GH∥AE交EC于H，證明GH⊥平面BEC，即可求三棱錐G-BCE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
設BD∩EC=O，∵BC=CD，CO⊥BD，
∴O為BD的中點．
由∠BCD=90°，BC=CD=6，得BD=$6\sqrt{2}$，
∴EC=$6\sqrt{2}$，BO=OD=3$\sqrt{2}$，
又∠ABC=∠CDA=90°，BC=CD=6，AC=$6\sqrt{3}$，得AB=AD=$6\sqrt{2}$，
∴AO⊥BD，且AO=3$\sqrt{6}$，
又BD⊥EC，EC∩AO=O，∴BD⊥平面AEO，則BD⊥AE．
在△AOC中，
∵AO=$3\sqrt{6}$，OC=3$\sqrt{2}$，AC=$6\sqrt{3}$，由余弦定理可得：
$∠AOC=\frac{（3\sqrt{6}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}-（6\sqrt{3}）^{2}}{2×3\sqrt{6}×3\sqrt{2}}$=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴cos$∠AOE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，在△AOE中，有$A{E}^{2}=（3\sqrt{6}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}-2×3\sqrt{6}×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=36．
∴AE²+OE²=AO²，則AE⊥EO，
又AE⊥BD，BD∩OE=O，
∴AE⊥平面BCDE；
（Ⅱ）解：過G作GH∥AE交EC于H，
∵CG=2GA，∴GH=$\frac{2}{3}$AE，
∵AE⊥平面BCDE，∴GH⊥平面DEC，AE⊥EC，
在直角三角形AEC中，AE=6，∴GH=4．
∴三棱錐G-BCE的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×6×4=24．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查三棱錐體積的求法，正確運用直線與平面垂直的判定定理是關鍵，是中檔題．