Question

【題目】已知

（Ⅰ）列表求在的所有極值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

（i）求證：；

（ii）若恒成立，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（Ⅰ）列聯(lián)表見(jiàn)解析；（Ⅱ）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于求其增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于求其減區(qū)間；

（Ⅱ）（i）構(gòu)造輔助函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求時(shí)， ，

（ii）構(gòu)造輔助函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求時(shí)，，然后對(duì)的值進(jìn)行分類討論，求在不同取值范圍內(nèi)時(shí)的的最小值，由最小值大于等于得到的取值范圍；

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以 ，

，，的變化關(guān)系如下表：

	遞增	極大值	遞減		遞增

所以函數(shù)的極大值為，極小值為.

（Ⅱ）（i）令

，

令，則對(duì)恒成立，

在上是增函數(shù)，則，

恒成立，在上為增函數(shù)，

；

（ii）令

要使恒成立，只需當(dāng)時(shí)，，

，

令，由（i）得，

①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上為增函數(shù)，

，滿足題意；

②當(dāng)時(shí)，上有實(shí)根，在上是增函數(shù)，

則當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

③當(dāng)時(shí)，恒成立，在上為減函數(shù)，

不符合題意，即．