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10.已知sinα和cosα是方程5x2-x+m=0的兩實根.求:
(1)m的值;
(2)當α∈(0,π)時,求\frac{1}{tan(3π-α)}的值;
(3)sin3α+cos3α的值.

分析 (1)由根與系數(shù)的關(guān)系寫出sinα+cosα=\frac{1}{5},sinα•cosα=\frac{m}{5},利用同角三角函數(shù)的關(guān)系,即可求得m的值;
(2)根據(jù)同角的基本關(guān)系求得tanx的值,利用誘導公式化簡,求得原式的值;
(3)根據(jù)立方和公式,即可求得sin3α+cos3α的值.

解答 解:(1)sinα和cosα是方程5x2-x+m=0的兩實根.
sinα+cosα=\frac{1}{5},sinα•cosα=\frac{m}{5},
sin2α+cos2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=1
\frac{1}{25}-\frac{2m}{5}=1
m=-\frac{12}{5},
(2)sinα和cosα是方程25x2-5x-12=0的兩實根.α∈(0,π)時,sinα>0,
∴sinα=\frac{4}{5},cosα=-\frac{3}{5},或sinα=-\frac{3}{5},cosα=\frac{4}{5}(舍去),
∴tanα=-\frac{4}{3},
\frac{1}{tan(3π-α)}=-\frac{1}{tanα}=\frac{3}{4};
(3)sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α+cos2α-sinαcosα),
=(sinα+cosα)(1-sinαcosα),
∵sinα=\frac{4}{5},cosα=-\frac{3}{5},或sinα=-\frac{3}{5},cosα=\frac{4}{5},
∴sin3α+cos3α=\frac{1}{5}×(1+\frac{12}{25})=\frac{37}{125}

點評 本題考查韋達定理與求三角求值相結(jié)合,誘導公式的應用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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