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8.已知△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且abc=sinB+sinCsinA+sinB
(1)求A
(2)求cosB+cosC的取值范圍.

分析 (1)由正弦定理化簡已知等式可得:b2+c2-a2=-bc,由余弦定理可求cosA,結(jié)合A∈(0,π),可得A的值.
(2)由(1)得:C=\frac{π}{3}-B,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求cosB+cosC=\sqrt{3}sin(B+\frac{π}{3}),由B∈(0,\frac{π}{3}),可得:B+\frac{π}{3}∈(\frac{π}{3},\frac{2π}{3}),由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解.

解答 (本題滿分為14分)
解:(1)∵\frac{a-b}{c}=\frac{sinB+sinC}{sinA+sinB},
∴由正弦定理可得:\frac{a-b}{c}=\frac{b+c}{a+b},可得:b2+c2-a2=-bc,
∴由余弦定理可得:cosA=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{-bc}{2bc}=-\frac{1}{2}
∴由A∈(0,π),可得:A=\frac{2π}{3}…6分
(2)∵A=\frac{2π}{3},可得:C=\frac{π}{3}-B,
∴cosB+cosC=cosB+cos(\frac{π}{3}-B)=\frac{3}{2}cosB+\frac{\sqrt{3}}{2}sinB=\sqrt{3}sin(B+\frac{π}{3}),
∵B∈(0,\frac{π}{3}),可得:B+\frac{π}{3}∈(\frac{π}{3},\frac{2π}{3}),
∴cosB+cosC=\sqrt{3}sin(B+\frac{π}{3})∈(\frac{3}{2},\sqrt{3}]…14分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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