8.已知△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,且$\frac{a-b}{c}$=$\frac{sinB+sinC}{sinA+sinB}$
(1)求A
(2)求cosB+cosC的取值范圍.

分析 (1)由正弦定理化簡已知等式可得:b2+c2-a2=-bc,由余弦定理可求cosA,結(jié)合A∈(0,π),可得A的值.
(2)由(1)得:C=$\frac{π}{3}$-B,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求cosB+cosC=$\sqrt{3}$sin(B+$\frac{π}{3}$),由B∈(0,$\frac{π}{3}$),可得:B+$\frac{π}{3}$∈($\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$),由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解.

解答 (本題滿分為14分)
解:(1)∵$\frac{a-b}{c}$=$\frac{sinB+sinC}{sinA+sinB}$,
∴由正弦定理可得:$\frac{a-b}{c}$=$\frac{b+c}{a+b}$,可得:b2+c2-a2=-bc,
∴由余弦定理可得:cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$,
∴由A∈(0,π),可得:A=$\frac{2π}{3}$…6分
(2)∵A=$\frac{2π}{3}$,可得:C=$\frac{π}{3}$-B,
∴cosB+cosC=cosB+cos($\frac{π}{3}$-B)=$\frac{3}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB=$\sqrt{3}$sin(B+$\frac{π}{3}$),
∵B∈(0,$\frac{π}{3}$),可得:B+$\frac{π}{3}$∈($\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$),
∴cosB+cosC=$\sqrt{3}$sin(B+$\frac{π}{3}$)∈($\frac{3}{2}$,$\sqrt{3}$]…14分

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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