Question

1．已知圓O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），由圓外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（1）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系式；
（2）求△OQP面積的最小值；
（3）求||PO|-|PA||的最大值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)PO，運(yùn)用勾股定理和兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理可得a，b間滿足的等量關(guān)系式；
（2）運(yùn)用三角形的面積公式，可得求△OQP面積的最小值轉(zhuǎn)化為求|PQ|的最小值．法一、運(yùn)用勾股定理，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法：配方，可得最小值；法二、轉(zhuǎn)化為A到直線2x+y-3=0的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得；
（3）設(shè)O關(guān)于直線l：2x+y-3=0的對稱點(diǎn)為O′（m，n），由垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得方程，解得m，n，再由三點(diǎn)共線的知識，可得最大值．

解答 解：（1）連結(jié)PO，∵Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，
由勾股定理得|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
∵|PQ|=|PA|∴|PQ|²=|PA|²，
a²+b²-1²=（a-2）²+（b-1）²，
化簡得2a+b-3=0；
（2）∵${S_{△OQP}}=\frac{1}{2}×|{OQ}|×|{PQ}|=\frac{1}{2}|{PQ}|$，
所以求△OQP面積的最小值轉(zhuǎn)化為求|PQ|的最小值．
法一：${|{PQ}|^2}=\sqrt{{{|{PO}|}^2}-{{|{OQ}|}^2}}=\sqrt{{a^2}+{b^2}-1}=\sqrt{{a^2}+{{（3-2a）}^2}-1}=\sqrt{5{a^2}-12a+8}$
=$\sqrt{5{{（a-\frac{6}{5}）}^2}+\frac{4}{5}}$，
當(dāng)$a=\frac{6}{5}$時，${|{PQ}|_{min}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
所以△OQP面積的最小值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
法二：點(diǎn)P在直線l：2x+y-3=0上，|PQ|_min=|PA|_min，
即求點(diǎn)A到直線l的距離${|{PQ}|_{min}}=\frac{{|{2×2+1-3}|}}{{\sqrt{{2^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
所以△OQP面積的最小值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
（3）設(shè)O關(guān)于直線l：2x+y-3=0的對稱點(diǎn)為O′（m，n），
$\left\{\begin{array}{l}\frac{n}{m}×（-2）=-1\\ 2×\frac{m}{2}+\frac{n}{2}-3=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{12}{5}\\ n=\frac{6}{5}\end{array}\right.$，
∴||PO|-|PA||=$|{|{P{O^'}}|-|{PA}|}|≤|{{O^'}A}|=\sqrt{{{（\frac{12}{5}-2）}^2}+{{（\frac{6}{5}-1）}^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
當(dāng)P，A，O'三點(diǎn)共線時，取得等號．
則||PO|-|PA||的最大值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系及應(yīng)用，考查兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．