Question

9．下列說法錯誤的是（　�。�

• A． 存在函數(shù)f（x）使得對任意的實數(shù)y，都有等式f（cosy）=cos2y成立
• B． 存在函數(shù)f（x）使得對任意的實數(shù)y，都有等式f（siny）=sin2y成立
• C． 存在函數(shù)f（x）使得對任意的實數(shù)y，都有等式f（cosy）=cos3y成立
• D． 存在函數(shù)f（x）使得對任意的實數(shù)y，都有等式f（siny）=sin3y成立

Answer 1

分析 利用二倍角公式、三倍角公式，函數(shù)的定義，判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：A，令x=cosy∈[-1，1]，則對任意實數(shù)y，有等式f（cosy）=cos2y=2cos²y-1成立，
即f（x）=2x²-1成立，故當(dāng)f（x）=2x²-1時，滿足條件．
B．令t=siny∈[-1，1]，則對任意實數(shù)y，有等式f（siny）=sin2y=2sinycosy=2t•（±$\sqrt{{1-t}^{2}}$）成立，
即f（x）=2x•（±$\sqrt{1-{x}^{2}}$）成立，此時函數(shù)f（x）不唯一，故B錯誤．
C．若f（cosy）=cos3y=4cos³y-3cosy 成立，即f（x）=4x³-3x成立，即當(dāng)f（x）=4x³-3x時，滿足條件．
D．若f（siny）=sin3y=3siny-4sin³y 成立，即f（t）=3t-4t³成立，即當(dāng)f（x）=3x-4x³成時，滿足條件
故選：B．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的倍角公式以及三倍角公式，考查學(xué)生的推理能力．