Question

17．如圖所示，酒杯的杯體軸截面是拋物線x²=2py （p＞0）的一部分，若將半徑為r（r＞0）的玻璃球放入杯中，可以觸及酒杯底部（即拋物線的頂點(diǎn)），則r的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)小球圓心（0，r），拋物線上點(diǎn)（x，y），求得點(diǎn)到球心距離r平方的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)r²最小值在（0，0）時(shí)取到，則小球觸及杯底，由此可得r的范圍．

解答 解：設(shè)小球圓心（0，r），拋物線上點(diǎn)（x，y）
則點(diǎn)（x，y）到圓心距離平方為：r²=x²+（y-r）²=2py+（y-r）²=y²+2（p-r）y+r²
若r²最小值在（0，0）時(shí)取到，則小球觸及杯底
故此二次函數(shù)的對(duì)稱軸位置應(yīng)在y軸的左側(cè)，所以p-r≥0，所以r≤p，
所以0＜r≤p，
所以r的最大值為p，
又由題意，拋物線方程為x²=2y，p=1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的應(yīng)用、圓與圓錐曲線的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．