Question

20．已知直線l與曲線y²=4x（y≥0）交于A，D兩點(diǎn)（A在D的左側(cè)），A，D兩點(diǎn)在x軸上的射影分別為點(diǎn)B，C，且|BC|=2．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，求直線AD的斜率；
（Ⅱ）記△OAD的面積為S₁，梯形ABCD的面積為S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由B的坐標(biāo)，可得A的坐標(biāo)，又|BC|=2，可得D的坐標(biāo)（3，2$\sqrt{3}$），運(yùn)用直線的斜率公式，即可得到所求值；
（Ⅱ）法一：設(shè)直線AD的方程為y=kx+m．M（0，m），運(yùn)用三角形的面積公式可得S₁=|m|，將直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，以及梯形的面積公式可得S₂，進(jìn)而得到所求范圍；法二：設(shè)直線AD的方程為y=kx+m，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公式可得三角形的面積S₁=|m|，梯形的面積公式可得S₂，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）由 B（1，0），則 A（1，y ₁），代入y²=4x，得到y(tǒng)₁=2，
又|BC|=2，則x₂-x₁=2，則x₂=3，
代入y²=4x，得到y(tǒng)₂=2$\sqrt{3}$，
∴k_AD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}-2}{2}$=$\sqrt{3}$-1，
直線AD的斜率$\sqrt{3}$-1；
（Ⅱ）方法一：設(shè)直線 AD的方程為 y=kx+m，與 y軸交點(diǎn)為M（0，m），
則S₁=S_△OMD-S_△OMA=$\frac{1}{2}$|m（x₂-x₁）|=|m|．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，
x₁+x₂=-$\frac{2km-4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$．
又S₂=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）|x₂-x₁|=y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=$\frac{4}{k}$，
又y₁y₂=$\frac{km}{4}$＞0，所以k＞0，m＞0，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{m}{4k}$=$\frac{m}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{km}{4}$，
由△=16-16km＞0，則0＜km＜1，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{km}{4}$＜$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}$的取值范圍（$\frac{1}{4}$，+∞）．
方法二：設(shè)直線AD的方程為y=kx+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，
x₁+x₂=-$\frac{2km-4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$．
|AD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
點(diǎn)O到直線AD的距離為d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，則S₁=$\frac{1}{2}$|AD|•d=|m|．
又S₂=$\frac{1}{2}$ （y₁+y₂）|x₂-x₁|=y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=$\frac{4}{k}$，
又y₁y₂=$\frac{4m}{k}$＞0，則k＞0，m＞0，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{m}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{km}{4}$，
因?yàn)椤?16-16km＞0，則0＜km＜1，
$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{km}{4}$＜$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}$的取值范圍（$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理及弦長公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積和梯形的面積的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．