Question

19．已知f（x）=x³-ax²-a²x+1，（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）的圖象不存在與l：y=-x平行或重合的切線，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導函數，對參數a進行分類討論得出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出導函數，不問題轉化為3x²-2ax-a²+1＞0恒成立，利用判別式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³-ax²-a²x+1，
∴f'（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a），
當a＜0時，x∈（-∞，a）和（-$\frac{a}{3}$，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（a，-$\frac{a}{3}$）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當a＞0時，x∈（-∞，-$\frac{a}{3}$）和（a+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（-$\frac{a}{3}$，a）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當a=0時，f'（x）≥0恒成立，f（x）R上遞增．
（Ⅱ）若f（x）的圖象不存在與l：y=-x平行或重合的切線，
∴f'（x）≠-1，
∴f'（x）=3x²-2ax-a²≠-1恒成立，
∴3x²-2ax-a²+1≠0恒成立，
∴3x²-2ax-a²+1＞0恒成立，
∴△=4a²-12（-a²+1）＜0，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 考查了導函數求函數數的單調區(qū)間，難點是對參數的分類討論和轉化思想的應用．