Question

如圖為河岸一段的示意圖．一游泳者站在河岸的A點(diǎn)處，欲前往對(duì)岸的C點(diǎn)處，若河寬BC為100m，A、B相距100m，他希望盡快到達(dá)C，準(zhǔn)備從A步行到E（E為河岸AB上的點(diǎn)），再?gòu)腅游到C．已知此人步行速度為v，游泳速度為0.5v．
（1）設(shè)∠BEC=θ，試將此人按上述路線從A到C所需時(shí)間T表示為θ的函數(shù)，并求自變量θ的取值范圍；
（2）當(dāng)θ為何值時(shí)，此人從A經(jīng)E游到C所需時(shí)間T最小，其最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）分別求出從A步行道E所用、從E游到C的路程，即可得到從A到C所需時(shí)間T表示為θ的函數(shù)，利用E位于A處時(shí)，θ取最小值

π

4

，E位于B處時(shí)，θ取最大值

π

2

，可得自變量θ的取值范圍；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得T′=-

100

v

•

2(cosθ- 1 2 )

sin2θ

，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到θ=

π

3

時(shí)，T取得極小值，也是最小值．

解答：解：（1）由題意，從A步行道E所用時(shí)間為

AE

v

，AE=AB-BE=100（1-

cosθ

sinθ

）
從E游到C，所用時(shí)間為

EC

0.5v

，EC=

BC

sinθ

=

100

sinθ

∴T=

100

v

(1+

2

sin

-

cosθ

sinθ

)
∵E位于A處時(shí)，θ取最小值

π

4

，E位于B處時(shí)，θ取最大值

π

2

∴自變量θ的取值范圍為[

π

4

，

π

2

]；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得T′=-

100

v

•

2(cosθ- 1 2 )

sin2θ

∴θ∈[

π

4

，

π

3

)時(shí)，cosθ＞

1

2

，T′＜0；θ∈(

π

3

，

π

2

]時(shí)，cosθ＜

1

2

，T′＞0
∴θ=

π

3

時(shí)，T取得極小值，也是最小值為

100(1+ 3 )

v

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，建模是關(guān)鍵．