Question

9．等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=a（a＞0），${a_1}+1{，^{\;}}{a_2}+2{，^{\;}}{a_3}+3$成等比數(shù)列，若{a_n}唯一，則a的值等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)公比為q，由條件得：aq²-4aq+3a-1=0關(guān)于q∈R且q≠0有唯一解，由此能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)公比為q，
∵等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=a（a＞0），${a_1}+1{，^{\;}}{a_2}+2{，^{\;}}{a_3}+3$成等比數(shù)列，
∴（aq+2）²=（a+1）（aq²+3），
整理，得：aq²-4aq+3a-1=0，
∵{a_n}唯一，∴由條件得：aq²-4aq+3a-1=0關(guān)于q∈R且q≠0有唯一解，
注意到a＞0，△=16a²-4a（3a-1）＞0恒成立，
∴3a-1=0，$a=\frac{1}{3}$（q=0為方程的增解）．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．