Question

3．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于D，交△ABC的外接圓于E，延長AC交△DCE的外接圓于F
（1）求證：BD=DF；
（2）若AD=3，AE=5，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）由同弦對等角，可得，∠ABC=∠AEC，∠DEC=∠DFC，可得∠ABC=∠DFC，又AD為∠BAC的平分線，得∠BAD=∠CAD，即可得出△ADB≌△ADF，即可證得結論；
（2）由△FDE∽△AFE，可得EF的長．

解答 證明：（1）在△ABC的外接圓中，∠ABC=∠AEC，
在△DEC的外接圓中，∠DEC=∠DFC，
∴∠ABC=∠DFC，
又AD為∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
又AD=AD，
∴△ADB≌△ADF，
∴DB=DF，
解：（2）由（1），同理得∠BAD=∠BCE，∠DCE=∠DFE，∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DFE，
∴△FDE∽△AFE，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EF}{DE}$，
∴EF²=AE•DE=10，
即EF=$\sqrt{10}$．

點評 本題考查學生的推理論證能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．