Question

銷售甲，乙兩種商品所得利潤分別為P（萬元）和Q（萬元），它們與投入資金t（萬元）的關系有經驗公式P=

1

5

t，Q=

3

5

t

．今將3萬元資金投入經營甲，乙兩種商品，其中對甲種商品投資x萬元
（1）試建立總利潤y（萬元）關于x的函數表達式
（2）求x為多少時，總利潤y最大？并寫出最大利潤．

Answer 1

分析：（1）對甲種商品投資x（萬元），對乙種商品投資（3-x）（萬元），根據經驗公式可得甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關于x的函數表達式；
（2）（2）首先要對（1）的函數分析，設

3-x

=m，然后根據一元二次方程的求最值方法求解．

解答：解：（1）根據題意，對甲種商品投資x（萬元），對乙種商品投資（3-x）（萬元）．
根據經驗公式可得y=

1

5

x+

3

5

3-x

，x∈[0，3]．
（2）設

3-x

=m，
則m≥0且x=3-m²y=

1

5

x+

3

5

3-x

=

1

5

（3-m²）+

3

5

m
=-

1

5

（m²-3m-3）=-

1

5

（m-

3

2

）²+

21

20

所以當m=

3

2

即：

3-x

=

3

2

，
也就是x=

3

4

萬元時，
總利潤最大，y_max=

21

20

萬元
故應甲種商品投資

3

4

萬元，對乙種商品投資

9

4

萬元時，
總利潤最大，最大值為

21

20

萬元．

點評：本題重點考查函數模型的構建，考查學生分析解決問題的能力，考查配方法求函數的最值，體現用數學知識解決實際問題，屬于基礎題．