Question

17．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x+a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求y=f（x）圖象與直線y=3圍成區(qū)域的面積；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)可寫出f（x）的解析式，進(jìn)而可從圖象上看出圍成的區(qū)域即為三角形，計(jì)算即得結(jié)論；

（Ⅱ）分$-a＞\frac{1}{2}$與$-a≤\frac{1}{2}$兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{2-x，-1≤x＜\frac{1}{2}}\\{3x，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
其圖象如圖所示，易知y=f（x）圖象與直線y=3交點(diǎn)坐標(biāo)，
所以圍成區(qū)域的面積為$\frac{1}{2}$[1-（-1）]×（3-$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）當(dāng)$-a＞\frac{1}{2}$，即$a＜-\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（{x＜\frac{1}{2}}）\\ x-a-1（{\frac{1}{2}≤x＜-a}）\\ 3x+a-1（{x≥-a}）\end{array}\right.$．
所以$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}-a-1$，
所以$\frac{1}{2}$-a-1=1，解得a=-$\frac{3}{2}$，滿足題意；
當(dāng)$-a≤\frac{1}{2}$，即$a≥-\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（{x＜-a}）\\-x+a+1（{-a≤x＜\frac{1}{2}}）\\ 3x+a-1（{x≥\frac{1}{2}}）\end{array}\right.$，
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{1}{2}$+a|=$\frac{1}{2}$+a=1，解得a=$\frac{1}{2}$，滿足題意；
綜上所述，$a=-\frac{3}{2}$或$a=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，涉及三角形面積的計(jì)算，以及分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．