對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集上的兩個(gè)函數(shù)
,若存在一次函數(shù)
使得,對(duì)任意的
,都有
,則把函數(shù)
的圖像叫函數(shù)
的“分界線”�,F(xiàn)已知
(
,
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),
(1)求的遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)
是否存在過(guò)點(diǎn)
的“分界線”?若存在,求出函數(shù)
的解析式,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(1)若遞增區(qū)間為
,若
遞增區(qū)間為
,若
,則遞增區(qū)間為
若
遞增區(qū)間為
(2)存在函數(shù)
的圖像是函數(shù)
過(guò)點(diǎn)
的“分界線”。
【解析】
試題分析:(1),
由得
①若,則
,此時(shí)
的遞增區(qū)間為
;
②若,則
或
,此時(shí)
的遞增區(qū)間為
;
③若,則
的遞增區(qū)間為
;
④若,則
或
,此時(shí)
的遞增區(qū)間為
。
(2)當(dāng)時(shí),
,假設(shè)存在實(shí)數(shù)
,使不等式
對(duì)
恒成立,
由得到
對(duì)
恒成立,
則,得
,
下面證明對(duì)
恒成立。
設(shè),
,
,
且時(shí),
,
,
時(shí),
,
所以,即
對(duì)
恒成立。
綜上,存在函數(shù)的圖像是函數(shù)
過(guò)點(diǎn)
的“分界線”。
考點(diǎn):函數(shù)單調(diào)區(qū)間及不等式恒成立
點(diǎn)評(píng):第一小題求單調(diào)區(qū)間針對(duì)于不同的值對(duì)應(yīng)不同的極值點(diǎn),因此需對(duì)
值分情況討論以求單調(diào)性;第二問(wèn)在正確理解給定信息的基礎(chǔ)上將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值,可利用導(dǎo)數(shù)這一工具求解
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對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集上的兩個(gè)函數(shù)
,若存在一次函數(shù)
使得,對(duì)任意的
,都有
,則把函數(shù)
的圖像叫函數(shù)
的“分界線”�,F(xiàn)已知
(
,
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),
(1)求的遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)
是否存在過(guò)點(diǎn)
的“分界線”?若存在,求出函數(shù)
的解析式,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆山東省高二下學(xué)期3月考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)
圖像連續(xù)不斷,且
滿(mǎn)足
,則必有(
)
A. B.
C. D.
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對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)
圖像連續(xù)不斷,且
滿(mǎn)足
,則必有(
)
A. B.
C. D.
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對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)
,若
與
都是偶函數(shù),則( )
A 為偶函數(shù)
B.
為奇函數(shù)
C.為偶函數(shù)
D.
為奇函數(shù)
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